La sphère est le seul espace compact simplement connexe de dimension 3

Ca déchire non ?

Moi y’a pas à dire, les maths ça me fait complètement bander !

Je lisais le mois dernier ce dossier de « La Recherche » consacré aux grands problèmes mathématiques, et à la résolution des grandes conjectures, comme celle de Poincaré qui vient d’être démontré par Grigori Perelman. Grâce à ce dernier, un mec bien space qui a refusé la médaille Fields pour cette découverte, nous avons maintenant la démonstration et la « preuve » que « La sphère est le seul espace compact simplement connexe de dimension 3. »

Je ne vais pas faire mon kéké en disant que j’ai tout compris au dossier et au titre de mon post, mais j’en ai au moins saisi le principe et les avancées. Malgré mon niveau tout à fait ridicule en sciences et en mathématiques, ça a toujours été une immense passion pour moi, et jamais je n’ai cessé de m’émerveiller devant des théorèmes, des démonstrations et ces mises en équation de la vie.

Ce qui est marrant aussi c’est qu’un problème parfois exposé de manière très simple va requérir des démonstrations extrêmement alambiquées, mais ce qui est aussi terrible c’est que c’est parfois la démonstration elle-même qui sera bien plus intéressante que le résultat. On fait beaucoup plus avancer les mathématiques en réfléchissant, tâtonnant, et en ouvrant de nouvelles perspectives en créant de nouveaux outils d’analyse, de modélisation et de résolution. J’ai toujours été épaté par la manière dont certains outils comme des fonctions, des notations ou des opérations ont pu ensuite être utilisées dans des domaines très lointains de leur objectif premier.

Je me rappelle qu’on m’avait expliqué à l’école (au lycée ?) que la fonction logarithme par exemple servait à la base uniquement à transformer une multiplication en addition. En effet, à une époque où les calculs étaient uniquement manuels, et dans le domaine de l’astronomie, il était beaucoup plus simple de pratiquer de multiples additions, que des multiplications de gros nombres. Et du coup, la fonction qui fait cela c’est le logarithme népérien : ln(ab) = ln(a) + ln(b).

Mais dans la suite de mes études (qui sont généralistes, donc qui doivent correspondre en gros à tous les bacheliers de France et de Navarre), j’ai tellement vu d’implications et d’applications du logarithme dans des tas de domaines. Et on se rend rapidement compte que le logarithme, et sa fonction réciproque l’exponentielle, interviennent dans les descriptions de la nature. Quand on fait un peu de physique ou de chimie, ça tombe sous le sens ! En prolongation de cela d’ailleurs, j’avais aussi été ébahi par les équations différentielles, et par leur puissance incroyable pour modéliser, décrire et résoudre des problèmes physiques tout à fait concrets.

Si je m’interroge encore un peu plus longtemps sur le sujet, je crois que je n’avais jamais autant pris mon pied que dans la découverte des nombres complexes. Avec le merveilleux i, c’est tout un monde qui s’ouvre à nous. Et puis ce qui est fabuleux avec les maths, c’est qu’on peut en tirer des correspondances philosophiques tout à fait frappantes, et que contrairement à sa réputation neurasthénique et réductrice, c’est au contraire une science qui ouvre l’esprit et autorise une grande créativité. J’ai adoré les complexes car c’est encore une fois un outil, une notation et un ensemble qui s’adaptent très bien à certains problèmes physiques très tangibles, qui flirtent avec la géométrie, et qui peuvent aussi être considérés comme une algèbre bien abstraite, tout en étant basé sur la matérialisation d’un élément (i) qu’on appelle « imaginaire ». Imaginaire puisque i est la racine de -1, ce qui est « impossible » (en tout cas dans notre vision du monde…).

Si l’on revient même aux fondamentaux, quoi de plus fascinant que les nombres premiers ? Cette suite infinie de nombres (entiers naturels) qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes, et qui est l’objet de toutes les curiosités depuis l’antiquité. L’étude de ces nombres a permis bien des découvertes et des applications pratiques, et en permettra encore certainement d’autres (conjecture de Goldbach, conjecture des nombres premiers jumeaux, …).

Ah là là, et puis mes chouchous sont aussi l’automatique, Pi, les transformées de Fourier, le binaire et ses applications dans le monde digital ! Bon allez, j’arrête ! ;-)

Merci à David de revoir ma copie (le meilleur pédéblogueur normalien mathématicien, arfff), j’espère que je n’ai pas trop dit de bêtise Doc !!

La Recherche - Avril 2007

31 Commentaires

  1. Continuons a parler des log, en effet ils sont partout ! Ton blog : sais tu d’où viens son nom ? Tout simplement de la contraction de « web log », et d’où vien l’utilisation de log pour un journal tu le net ? c’est simplement les marins qui suivaient sur leur carte des route maritime étudiées et calculées grace au log, il tenait un livre de bord où ils inscrivaient leurs trajectoires, le « log book » ! j’ai été fasciné par la dérive qu’a pris ce mot (a oui ya les dérivé aussi c’est un truc de fou aussi)

    Bref les maths de premier abord c’est super abstrait mais quand on regarde un peu yen a partout !
    c’est çà qui est génial et c’est pour çà que je suis arrivé dansu ne filière scientiphique :)

  2. Eh ! Il n’y a pas qu’un pédé blogueur qui fasse un peu de sciences ! :-(
    Je prépare très modestementle CAPES de physique chimie ! ;-)
    Plus sérieusement, le nombre PI est quelque chose de fascinant. Il est défini comme le rapport du périmètre d’un cercle à son diamètre. Il intervient dans les fonction périodiques, telles par exemple le courant alternatif dans un circuit.
    Une anecdote sur le sujet, racontée par physicien dont j’ai oublié le nom. Adolescent, il s’est demandé pourquoi ce PI, qui intervient en géométrie, apparaissait dans les fonctions paramétrant l’évolution temporelle de l’intensité par exemple. En démontant un poste de radio ou un moteur, il remarqua de nombreux bobinages. Il n’en fallu pas plus pour son esprit qui fit le lien entre le fameux cercle qui définit PI et la forme des spires des bobines.
    Je suis content qu’un non scientifique parle de ce sujet d’une façon très juste. (tu as potassé un peu non ?) Je suis sûr que beaucoup de gens qui utilisent le logarithme népérien à longueur de journées seraient incapables d’expliquer le pourquoi du comment ça se fait.

    L’histoire du physicien démontre le besoin de remettre en cause perpétuellement ses propres conceptions de la nature, sans quoi on se fait une idée fausse de la nature.

    Merci :)

    Parapluie

    PS : à lire la dernière page du numéro de juin, en haut à droite…

  3. Matoo, je partage ta fascination pour ce genre d’énoncés. Ca laisse rêveur. Toutefois il me semble que celui que tu as repris est réducteur… Un petit tour sur le net a raffraîchi mes souvenirs de math spé. Il en ressort que tout ce qui se déforme en une sphère (comme un ballon de rugby) possède cette propriété. Poincaré a démontré ce fait et a formulé la conjecture qu’un espace fermé à trois dimensions dont le groupe fondamental est trivial peut être déformé en une 3-sphère (analogue de la sphère dans un espace à quatre dimensions). Je précise que la sphère ordinaire est un objet à deux dimensions (au sens de la topologie) et que pour elle, je comprends que ces propriétés sont « faciles » à démontrer. Voilà, c’était pour rendre à Poincaré ce qui est à Poincaré et à Perelman…

  4. je suis discalculique au dernier degré et je ne sais donc quasi pas compter ( je dois avoir un niveau de 5ème en maths :langue: ) . cela dit ce que j’aimais beaucoup c’était qu’on me raconte les processus de découverte, le pourquoi du comment les idées, les façons de faire étaient apparues, autant en mathématiques que dans toutes les sciences. je trouvais ça tout à fait passionnant. l’heure du conte des maths en quelque sorte :)

    en lisant ton texte, je sens qu’il y a tout un pan de ces histoires dont je ne saurai pas saisir la saveur, mais tu me la fais toucher du doigt :mrgreen: . merci à toi :kiss:

  5. Incapable de suivre la moitié de la discussion en cours (formation ultra-littéraire = aucune discipline scientifique au bac! Eh oui, c’était possible à l’époque!!), je suis pourtant fasciné tout autant par les mathématiques, du moins par l’idée que je m’en fais :petard:

    Une notion me fascine entre toutes: à écouter les mathématiciens, certaines démonstrations sont plus « élégantes » que d’autres… C’est vraiment le nec plus ultra du chic à mes yeux :cool:

  6. Léouiche => Il y a plusieurs inventeurs du calcul intégral, Riemann au XIX° siècle et Lebesgue au début du XXe, selon des approches différentes …

  7. rhaaaaaaaaaaa le logarithme népérien…. je n’ai jamais su ce que que c’etait ni à quoi ça servait. mais la seule chose que j’ai retenu de mes cours de maths de terminales c’est cette expression tellement fascinante et musicale : logarihtme népérien… Ça sonne bien moij’trouve. A tel point que je rêvais de pouvoir l’écrire « logarYthme »…
    Difficile à placer dans la conversation courante (sauf en négatif, genre : ce que tu m’expliques c’est aussi abscons que les logarithmes népériens !) mais c’est tellement agréable de prononcer ces mots là…
    Logarithme népérien… Rhaaaaaaa !

  8. Bon ok, puisque personne ne l’a faite il faut bien que je me dévoue:

    La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont dans un bar. Exp a l’air triste et reste dans son coin, alors log vient la voir et lui dit: “bah alors, qu’est-ce qui t’arrive?” Exp répond: “je me sens un peu seule” L’autre: “bah oui mais regarde-toi un peu tu faits pas d’efforts! je sais pas moi, intègre-toi un peu!” Exp: “je voudrais bien, mais ça sert à rien…” :boulet:

    Alors log lui dit: “bon ok, on prend un verre alors. tu veux quoi?” Exp: “ah non surtout pas j’ai pas d’argent sur moi!” Log: “t’inquiète, c’est pour moi: le log ne paie rien.”

    :croa:

    Bref, revenons-en à nos moutons. Comme chacun le sait la topologie des objets peut être décrite par un nombre qui s’appelle la caractéristique d’Euler-Poincaré.

    C’est très simple à calculer: pour les volumes, on prend le nombre de sommets S, le nombre d’arêtes A et le nombres de faces F, et la caractéristique est X = S – A + F. Et là, magie: qu’on prenne un cube, une pyramide, un dodécahèdre, un ballon de foot, ou tout autre volume de dimension 3 fortement connexe, le résultat est 2. Même la sphère: si on prend une sphère, qu’on trace ses méridiens, il y a 2 poles (S = 2), A méridiens et F faces, et comme il y a autant de méridiens que de faces (l’espace entre les méridiens), A = F donc X = S = 2.

    Bref, on dit que « tout polyèdre creux homéomorphe à une sphère a une caractéristique d’Euler-poincaré égale à 2 ».

    Ce qui est rigolo, c’est que si on prend une sphère et qu’on fait un trou dedans (ça donne une chambre à air pour roue, communément appelée un « tore »), ça rajoute 2 à la caractéristique d’euler-poincaré d’origine. Par exemple, la chambre à air simple a X = 4. Et si on rajoute quelques trous supplémentaires, ce qui donne la croûte externe de la fougasse, un pain provencal avec des trous justement, la caractéristique d’euler-poincaré est X = 2 + 2 x N, où N est le nombre de trous. Essayez, vous verrez!

    Et maintenant, il se passe quoi?

    En fait, ce concept se généralise. Quand on fait des dessins sur une feuille, on a aussi cette caractéristique en prenant X = P – S, où P est le nombre de sommets de la forme, et S le nombre de segments qui relient les points. Un carré par exemple a X = 0, ainsi qu’un cercle et toute forme « homéomorphe », y compris le cercle. Si on fait une boucle, par exemple en dessinant un 8, ça donne X = -1.

    Dans l’autre sens, ça marche aussi. La généralisation est que dans un espace (quelconque) à N dimensions où on peut parler de formes (on dit qu’il est muni d’une « topologie »), on peut définir une caractéristique X = S0 – S1 + S2 – S3 … + SN qui va être partagée par toutes les formes homéomorphes entre elles.

    Ce qui me fait venir à l’utilité de tout ça:

    1) on peut montrer qu’une sphère de dimension N a X = 2 si N est pair, et X = 0 si N est impair (par exemple, une sphère-surface de dimension 2 a X = 2. Un cercle-surface de dimension 1 a X = 0, vu plus haut).

    2) on peut calculer la caractéristique d’Euler-Poincaré par des « trucs » sans connaître l’objet qu’on considère à l’avance.

    Maintenant, imaginez qu’on arrive à calculer X pour l’univers espace-temps… Si X = 2 pour l’univers (dimension 4), il est homéomorphe à une sphère… Avec deux sommets, dont l’un est le big bang. Ça voudrait dire que rien qu’avec ce petit X de rien du tout, on pourrait dire si l’univers va continuer de grandir ou se rétrécir jusqu’à redevenir un point (un « big crunch »)…

    Je sais pas pour vous mais je trouve ça joli: comment un tout petit outil simple de géométrie permet de décrire des grands trucs de l’univers.

    (ok j’ai un peu simplifié mais vous pouvez lire des bouquins de topologie pour en savoir plus :mrgreen: )

  9. Note en passant pour clarifier: il faut distinguer la sphère-surface, creuse, dont la surface est de dimension 2 mais qu’on dessine en utilisant un volume (elle est observée en 3 dimensions), de la sphère-volume, pleine, dont la dimension est directement 3.

    La conjecture dont Matoo parle initialement concerne la sphère-volume, alors que mon diatribe concerne la sphère-surface.

  10. « Avec le merveilleux i, c’est tout un monde qui s’ouvre à nous » Je pense que cette phrase va aussi rentrer dans le Panthéon des phrases-mots collectors de Matoo. C’est tellement idoine! :langue:
    Pareil en économétrie, on utilise le log à toutes les sauces!!!! :pompom:

  11. J’avoue que j’ai été surpris en voyant le titre de ton post. ;-) Qui est juste, même si j’aurais utilisé le mot « variété » plutôt qu' »espace ». Par ailleurs, ce n’est pas du tout ma spécialité mathématique (je fais de la géométrie arithmétique, ou algébrique, alors qu’il s’agit de topologie ou de géométrie différentielle). Mais La Recherche (par opposition à Science & Vie) est normalement un journal sérieux, donc ce qu’ils disent est sans doute juste.

    Une précision sur le logarithme : tous les logarithmes, quelle que soit leur base, ont la propriété que log(ab) = log(a)+log(b). Le logarithme naturel a ceci de plus que ln(1.000001) est très proche de 0.000001 (sa dérivée en 1 est 1), et c’est comme ça que le nombre e tombe assez magiquement dans les maths. Par exemple, si vous avez 1 chance sur 1000000 de gagner à la lotterie à chaque tirage, et que vous jouez 1000000 fois, quelle est la probabilité que vous ayez gagné (au moins) une fois au final ? La réponse est (très proche de) 1-1/e, soit environ 63%, je laisse comme exercice de trouver le rapport avec le log et avec le schmilblick.

    Sinon, je ne qualifierais pas la conjecture de Goldbach ou celle des premiers jumeaux comme des applications des nombres premiers. Les applications, il faut plutôt les chercher du côté de la crypto.

  12. Y’a vraiment que les matheux pour trouver bandant la manière dont sont enseignés les maths…..au secours….Si déja le sprofs d emath pouvaient intégrer un minimum d’histoire des mathématiques dans leurs programmes, ça rendrait la chose beaucoup moins barbante… :dodo:

  13. «  » Si déja le sprofs d emath pouvaient intégrer un minimum d’histoire des mathématiques dans leurs programmes «  »
    Euh, je rappelle que ce ne sont pas les professeurs qui éditent les programmes de l’éducation nationale.
    Reste qu’il est vrai que nous manquons tous de culture sur l’histoire des sciences en général. Il existe des modules dans le supérieur à ce sujet.
    Pour ceux que cela intéresse, je conseille le très bon « Evolution des idées en physique » de Einstein et Infeld.
    Le passage consacré aux célèbres expériences de pensée est un délice.

    Au plaisir.

  14. Lors d’un dîner mondain, la conversation file et s’étire sur le concept religieux de Trinité : le Père, le Fils, le Saint-Esprit, une personne divine en trois, etc.
    Une dame se tourne vers Einstein : « Mais vous, brillant scientifique, ça ne vous choque pas que trois entités dont on ne peut prouver l’existence puissent faire un ? »
    Einstein répond : « Absolument pas, Madame. Prenez exp(i.Pi) : aucun des trois n’est réel, et pourtant le résultat est 1. »
    (en fait, c’est en valeur absolue)

    J’adore ça :lol:

  15. merci Kena c’était si beau !
    J’avoue que j’ai un faible pour le théorème de Fermat et sa démo par Andrew Wiles.
    Quand je relis des maths, je comprends mieux pourquoi je ne suis pas tombée dans l’écriture plus tôt (je n’étais pas le genre de personne capable de ni n’avais le genre de vie qui me permettait d’en même temps, tout faire :pleure: ).

  16. Ah… i², le plus beau de tous :mrgreen:

    Quelques autres beautés: la dérivation et le cul de sac de son opération inverse (la primitive) pour la fontion 1/x que le log népérien est venu sauver… La forme d’une courbe x² (pour créer facilement une parabole, laisser pendre une chaine dont vous tiendrez une extrémité dans chaque main)… des théorêmes omniprésents (pythagore ou encore Al Kashi qui généralise Pythagore à tous les triangles)… et puis l’outil suprême: le cercle trigonométrique… et la mécanique céleste des matrices…

    A y est, j’ai joui, moi aussi :redface:

  17. Evan, il me semble que la courbe créée par une chaîne n’est pas une parabole mais bien ce qu’on appelle une caténaire, solution d’une jolie équation différentielle et qui fait intervenir des cosinus hyperboliques (et donc des exponentielles). En revanche, on obtient bien une parabole en lançant un objet dans le vide (sur une hauteur raisonnable, pour pouvoir négliger la variation de la pesenteur, sans quoi on aurait sauf erreur plutôt une hyperbole ou une ellipse).
    Application : A quelle distance doit-on planter deux poteaux de 1m75 pour qu’une corde de 1m50 qui y serait attachée ait son point le plus bas à 1m du sol ?

  18. Génial, c’est rare un blog où on trouve quelqu’un qui expose son admiration pour la conjecture de poincaré.
    Les maths c’est un peu ma vie, et j’etudie justement les outils pour prouver cette fameuse conjecture, euh non autant pour moi théoréme grace à G.Perelman.
    Bref c’est dommage que tu te sois arrete à la terminale dans ta connaissance des maths, parce que quand on est ébahi devant le nombre i, on est transcendé par les espaces vectoriels, les groupes de Lie, et autres variétés topologiques…
    Vive l’abstrait.
    Bonne continuation.

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